הוכחה שקבוצה היא סגורה

שלח תגובה
VaultTec
הודעות: 47
הצטרף: 00:18 24/10/2010

הוכחה שקבוצה היא סגורה

שליחה על ידי VaultTec » 20:04 23/04/2011

האם יש דרך פרקטית להוכיח שקבוצה היא סגורה, מלבד להראות שהמשלים שלה קבוצה פתוחה?

avners
הודעות: 280
הצטרף: 01:41 20/04/2007

Re: הוכחה שקבוצה היא סגורה

שליחה על ידי avners » 22:26 23/04/2011

הדרך שהצעת היא בד"כ די פשוטה.
חוץ מזה אפשר להראות שמדובר בחיתוך של קבוצות סגורות או איחוד סופי של קבוצות סגורות.
אפשר להראות שהקבוצה מכילה את השפה שלה.
"התמדה זה הכול,
אין שום סיבה להפסיק..."
"איזה כיף", הדג נחש מסבירים את החוק הראשון של ניוטון

VaultTec
הודעות: 47
הצטרף: 00:18 24/10/2010

Re: הוכחה שקבוצה היא סגורה

שליחה על ידי VaultTec » 20:53 27/04/2011

אבנר,

בתרגיל 1 שאלה 7, נתת דוגמא לקבוצה שהיא סגורה וההטלה שלה על ציר ה-Y היא פתוחה
איך למשל עם השיטות שהצעת לי, אתה מוכיח שהקבוצה שלך( x,e^x) אכן סגורה?

avners
הודעות: 280
הצטרף: 01:41 20/04/2007

Re: הוכחה שקבוצה היא סגורה

שליחה על ידי avners » 21:03 27/04/2011

דרך אחת היא להראות שהמשלים של הגרף פתוח (לכל זוג (x,y) למצוא את המרחק שלו מהגרף ואז לקחת כדור קטן יותר סביבו)
דרך שניה היא להשתמש בקריטריון אחר של קבוצות סגורות: כל סדרה של נקודות בקבוצה שמתכנסת, הגבול שלה נמצא בקבוצה:
נניח שיש סדרה של נקודות \((x_n,e^{x_n})\) בקבוצה שמתכנסת לנקודה \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). מכיוון שהתכנסות של סדרה שקולה להתכנסות של סדרות הקואורדינטות אנחנו יודעים ש \(lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\) אבל מכיוון שאקספוננט היא פונקציה רציפה נובע שבהכרח \(y=e^x\) ולכן הנקודה הגבולית נמצאת גם בקבוצה.
"התמדה זה הכול,
אין שום סיבה להפסיק..."
"איזה כיף", הדג נחש מסבירים את החוק הראשון של ניוטון

שלח תגובה

חזור אל “- חדו"א של פונקציות מרובות משתנים”