שאלה 2 סעיף 4

שלח תגובה
shaiwis
הודעות: 42
הצטרף: 23:16 13/10/2010

שאלה 2 סעיף 4

שליחה על ידי shaiwis » 11:26 22/07/2011

הדוגמא שניתנת שם לא ברורה לי.
ממה שהבנתי, אתה אומר ש-a היא נקודת קיצון מקומית תחת אילוץ, אך היא לא בהכרח נקודת קיצון של הפונקציה.
זוהי משמעות של משפט לגרנז', אז אני לא מבין איך הדוגמא מראה ש-\(rank(Dg)=m\) הוא תנאי חיוני לקיום המשפט.

תודה

shaiwis
הודעות: 42
הצטרף: 23:16 13/10/2010

Re: שאלה 2 סעיף 4

שליחה על ידי shaiwis » 19:13 22/07/2011

הכוונה היא כמובן שאלה 2 בבוחן, ואני מדבר על הדוגמא שנתנת בפתרון המפורסם.

AssafHasson
הודעות: 36
הצטרף: 19:35 30/06/2011

Re: שאלה 2 סעיף 4

שליחה על ידי AssafHasson » 22:26 22/07/2011

ממה שכתבת אני לא מבין מה השאלה. אני אנסה להבהיר בכל זאת. המשפט על כופלי לגרנז' אומר שאם נתון שדה סקלרי \(f\) ונתונה פונקציה \(g\), אזי תחת הנחות מסוימות, תנאי הכרחי לכך שנקודה \(a\) היא נקודת קיצון של \(f\) תחת האילוץ ש-\(g(x)=g(a)\) הוא שהמרחב המשיק לפונקציה \(f\) בנקודה יהיה מוכל במרחב המשיק לקו הגובה \(g(a)\).

בדוגמה שהבאתי מצאתי נקודת מקסימום של \(f\) תחת אילוץ, ,כך שהמסקנה של המשפט אינה מתקיימת. ביתר פירוט: אם \(a\) היא מקסימום גלובלי של \(g\) ו-\(g^{-1}(g(a))=\{a\}\), אז \(Dg(a)=0\). ברור גם ש-\(a\) היא (באופן טריביאלי) מקסימום של \(f\) תחת האילוץ \(g(x)=g(a)\) (כי זו הנקודה היחידה המקיימת את האילוץ). אילו התקיימה המסקנה של המשפט על כופלי לגרנז' במקרה הנוכחי, היינו צריכים לקבל ש-\(Df(a)=0\), אבל אין שום סיבה שזה יקרה.

shaiwis
הודעות: 42
הצטרף: 23:16 13/10/2010

Re: שאלה 2 סעיף 4

שליחה על ידי shaiwis » 10:09 23/07/2011

מדוע \(Df(a)=0\) צריך להתקיים? הרי המשפט מספק לנו נקודת קיצון אך ורק תחת אילוץ, ולא בהכרח נקודת קיצון אמיתית של הפונקציה, לא? או שאני מתבלבל פה...

AssafHasson
הודעות: 36
הצטרף: 19:35 30/06/2011

Re: שאלה 2 סעיף 4

שליחה על ידי AssafHasson » 20:04 23/07/2011

אילו התקיים המשפט על כופלי לגרנז' במקרה שלנו היה צריך להתקיים (מכיוון שהנקודה היא מקסימום גלובלי של \(g\)):
\(Df(a)=\lambda Dg(a)=0\).

שלח תגובה

חזור אל “- חדו"א של פונקציות מרובות משתנים”