מבחן 2009 מועד ב' שאלה 3

[firestie]

שרית שלום,

אשמח לעזרה בשאלה הזו (איך הקליפות מחוברות ביניהן וכו').

תודה!

[sara]

יש לי רק את המבחנים שמופיעים באתר. עליך להעלות את השאלה כאן.

[noamman]

הנה מצורף צילום מסך של השאלה

[sara]

סעיף א+ב: כיוון הזרם מהבסיס לנקודה העליונה = הזרם זורם בכיוון הזווית \(\theta\). ולכן:
\(R=\int \rho \frac{dl}{dA}\)
\(dl=rd\theta\) - אלמנט האורך בכיוון הזרם
\(dA=r\sin \theta d\varphi dr\) - מכפלת 2 אלמנטי האורך הנותרים נותנת את אלמנט השטח המאונך

אם מחשבים את האינטגרל עבור סעיף א מקבלים:
\(R=\frac{\rho}{2\pi (r_2-r_1)} \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sin \theta}=\frac{\rho}{2\pi (r_2-r_1)} \ln\left[ \tan(\theta \2) \right]_0^{\pi/2}\)

אך שים לב שהצבת הגבול העליון לא מוגדרת! או יותר נכון הפתרון מתבדר (פיסיקלית זה אומר שזה בלתי אפשרי לדחוס את כל הזרם ל"נקודה אחת").
סעיף ב, בעצם מאפשר לשנות את הגבול העליון ל-\(\delta \theta \sim 0\) כך שהתוצאה יוצאת סופית ולא מתבדרת (בעיקרון זה משפיע על גבולות הרדיוס אבל בהנחה שזה מאוד קטן, אפשר להניח שזה לא משתנה)

סעיף ג: כיוון הזרם מהרדיוס הפנימי לרדיוס החיצוני = הזרם זורם בכיוון רדיאלי \(\theta\). ולכן:
\(R=\int \rho \frac{dl}{dA}\)
\(dl=dr\) - אלמנט האורך בכיוון הזרם
\(dA=r^2\sin \theta d\theta d\varphi\) - מכפלת 2 אלמנטי האורך הנותרים נותנת את אלמנט השטח המאונך

במקרה זה הפתרון הוא:
\(R=\frac{\rho(r_2-r_1)}{4\pi r_1 r_2}\)