מבחן 2015 מועד א

[ergu]

נתקלתי בשתי בעיות במבחן הזה אשמח לעזרה.

1. לא ברור לי הפיתוח טיילור שכתוב בתשובות ל
exp(cos(x))=e(1-x^2/2+x^4/4+0.5(-x^2/2+x^4/4)^2)
למה איקס ברביעית מחולק ב4 ולא ב!4? ולמה מכפילים הכל בe ?
אני יודעת שצריך להציב בתוך הטור של e^x את הטור של cosx וכן לא ברור לי איך מופיע e

2. יש שאלה של אניטגרל ממינוס אינסוף לאינסוף. לא זכור לי שעשינו דברים כאלה ובכל זאת זה בחומר למבחן ממה שהבנתי.
אשמח להסבר מה צריך לעשות כדי לפתור אינטגרל כזה. קיבלתי הכוונה שצריך לעשות החלפת משתנים כדי לקבל צורה מוכרת כמו אליפסה או מעגל.
אבל לא ברור לי איך לעשות את זה כשאין לי משווא אלא ביטוי.

תודה רבה גיא.

[danielhu]

1. הפיתוח הוא סביב \(x=0\) זה אומר ש \(\cos x = 0\), לכן יש הכפלה ב \(e\). אם תציב \(\cos x \approx 1-x^2/2\) ותפתח ב\(x\) תגלה את המקדם המתאים.

2. פתרתי בדיוק את השאלה הזו בתרגול 7, ממליץ לך להסתכל שם. אתה יכול להתייחס לזה כאל הגבול בו גבולות האינטגרל הולכים ל\(\pm \infty\)

[ergu]

עדיין לא הבנתי איך מופיע e בפיתוח. זה אמור להיות פולינום? חשבתי שצריך לפתח את e^x ולהציב בפנים את הפיתוח של cos ובנוסף לא הבנתי למה מחלקים שם ב4 ולא ב!4 ?
ובקשר לאינטגרל, צריך לחשב גבול כמו בחדווא אחרי ההצבה?
תודה על התשובה

[danielhu]

1. תגדיר משתנה חדש \(t=\cos(x)\) כאשר אתה מפתח סביב \(x=0\) אתה למעשה מפתח סביב \(t=1\) את \(e^t\) ו \(\left.e^t\right|_{t=1}=0\) מכאן מגיע e בכל מקום.
אם תעשה פיתוח של \(e^x\) ובמקום \(x\) תציב פיתוח של \(\cos(x)\) ותעשה את האלגברה (תאסוף את המקדמים של החזקות השונות של \(x\) אתה תראה שצריך להיות 4 ולא !4.

[danielhu]

בקשר לאינטגרל- כן. אתה תקבל משהו בסגנון \(\lim_{t\to \infty} e^{-t} = 0\)