הבהרה לגבי מציאת משוואות התנועה מ F*F (טנזור השדות)

[yuvalbas]

הי עירא,
כשמחפשים את \(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}\) לאחר שגזרנו את הלגרנז'יאן לפי הנגזרת הוקטורית
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial_{\lambda}(A_\rho) \right)}\)
אנחנו אמורים לקבל וקטור לא? הרי גזרנו סקלר לפי וקטור זה דומה ללקחת את הגרדיאנט. אבל לתוצר הסופי יש שני אינדקסים אז זה בכלל מטריצה, אז אני קצת מבולבל בנושא.
בש"ב 4 שאלה 1 בסוף סוכמים על כל רכיבי הוקטור הזה, למה? האם זה בגלל הנגזרת הנוספת שעושים באוילר-לגראנז'? כלומר
\(\partial_\lambda \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial_{\lambda}(A_\rho) \right)}\)
או שאני מפספס פה משהו?

בברכה,
יובל בשן

[Ira Wolfson]

היי,

אני מזכיר שבמשוואות אוילר לגראנז' לשדות יש גזירה פעמיים קרי:
\(\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\phi}\)

ספציפית נראה ששכחת את הגזירה השניה....

[yuvalbas]

אני כתבתי על הגזירה השניה, אני מנסה להבין מה התוצר של הגזירה הראשונה ומה התוצר של הגזירה השניה.
לפי כמות אינדקסים נראה שמהראשונה יוצא מטריצה (2 אינדקסים) ומהשניה יוצא וקטור (כלומר הלמדה אצלי - או המיו אצלך נסכמות).
אבל בשאלה 1 בש"ב 4 סוכמים על כל החלקים ורק אז מבצעים את הגזירה השניה, אז לא ברור לי למה.

[Ira Wolfson]

התוצר של הגזירה הראשונה הוא טנזור מדרגה שניה (שני אינדקסים). בגלל שהגזירה השנייה היא עם אותו אינדקס, יש סכימה על אינדקס אחד והתוצאה היא וקטור.

כאשר תיקח את הווקטור הזה רכיב רכיב, תמצא שהרכיב האפס הוא משוואת מקסוול אחת. ושאר 3 הרכיבים ביחד הן משוואת מקסוול נוספת.
השתיים הנותרות נובעות מזהות ביאנצ'י.

החלק של הנגזרת לפי הווקטור A , כלומר החלק ה'פוטנציאלי' יוצא אפס במקרה של F*F. אם תסתכל נניח בלגרנז'יאן פרוקה תראה שאיברים אחרים תורמים לו.