שיעורי בית 6 שאלה 2

שלח תגובה
Ariel
הודעות: 15
הצטרף: 12:34 27/10/2016

שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי Ariel » 19:18 23/06/2019

שלום,
ייתכן שיש טעות בהגדרת הזרם בגוף השאלה?
ניסיתי להציב את הנגזרת הקווריאנטית ישירות ללגרנז'יאן ולא התקבלה תוצאה זהה לתוצאה המתקבלת מהצבת הנגזרת הקווריאנטית לביטוי הכולל את הזרם. בנוסף, בהרצאה 15 רשמנו את הזרם עם תוספת. מצרף את התמונה להשוואה.


תודה,
אריאל.
קבצים מצורפים
Capture.PNG
Capture.PNG (937.57 KiB) נצפה 428 פעמים

Ariel
הודעות: 15
הצטרף: 12:34 27/10/2016

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי Ariel » 19:40 23/06/2019

תיקון\הבהרה:
הביטוי לזרם כנראה נכון, אז אני רק מניח שחסר בלגרנז'יאן איבר מהצורה:
\(-e^2\varphi^{*}\varphi A^{\mu}A_{\mu}\)
כדי שנקבל את הזרם כמו שכתוב בשיוויון השני בשאלה.

yevgeny.kats
הודעות: 15
הצטרף: 14:33 07/08/2017

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי yevgeny.kats » 12:17 24/06/2019

אכן יש שם טעות ואני מתנצל על כך. בביטוי השני עבור הלגרנז'יאן המופיע בשאלה צריך להוסיף \(e^2\varphi^\ast\varphi A^\mu A_\mu\). כמו שהזכרת, הרצאה 15 מבהירה את ההבדל בין הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) לבין הזרם הנשמר. אין הבדל בין השניים עבור שדות ספינוריים, אבל יש הבדל עבור שדות סקלאריים ווקטוריים. תודה רבה על ההערה!

AvshalomBd
הודעות: 22
הצטרף: 11:38 04/11/2016

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי AvshalomBd » 21:24 25/06/2019

היי אבגני,
בהמשך לתגובתך לגבי מתי הזרם השמור הוא בדיוק הזרם שמופיע בלגרנז'יאן.
במטלה 6 שאלה 3 סעיף ב' נשאלנו האם הלגרנז'יאן שכתוב יכול לתאר את הצימוד של השדה הוקטורי V לשדה האלקטרומגנטי. התשובה הייתה לא משום שהזרם J שמופיע בלגרנז'יאן ונצמד ל-A אינו בדיוק הזרם השמור.

מנסה להבין האם רק בשדה ספינורי הזרם שמופיע בלגרנז'יאן ונצמד ל-A חייב להיות הזרם הנשמר או גם בשדה וקטורי?

תודה רבה,
אבשלום.

yevgeny.kats
הודעות: 15
הצטרף: 14:33 07/08/2017

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי yevgeny.kats » 23:02 25/06/2019

עבור שדה ספינורי, ניתן לצמד ל-\(A^\mu\) את הזרם הנשמר מהתאוריה ללא שדות הכיול, והוא יישאר זרם נשמר גם בתאוריה החדשה.
עבור שדה סקלארי או וקטורי, המצב הוא קצת שונה בגלל שבמקרים אלה הזרם המקורי מערב נגזרת של השדה, וכתוצאה מכך הביטוי לזרם הנשמר החדש לפי משפט נתר יקבל תרומה נוספת מהאיבר \(A^\mu j_\mu\) עצמו, ותרומה זו תערב לא רק את השדה המקורי אלא גם את \(A^\mu\).

הטענה שנכונה עבור כל המקרים היא שאם הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) הוא \(j_\mu\), אז הזרם הנשמר \(J^\mu\) (לפי משפט נתר, או לחלופין לפי משוואות התנועה) הוא
\(J_\mu = \frac{\partial}{\partial A^\mu}(A^\nu j_\nu) = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)

noamwunch
הודעות: 10
הצטרף: 19:52 03/11/2016

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי noamwunch » 11:20 26/06/2019

הטענה שנכונה עבור כל המקרים היא שאם הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) הוא \(j_\mu\), אז הזרם הנשמר \(J^\mu\) (לפי משפט נתר, או לחלופין לפי משוואות התנועה) הוא
\(J_\mu = \frac{\partial}{\partial A^\mu}(A^\nu j_\nu) = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)
היי, אני קצת מתבלבל עם הסימונים.

האם j כאן הוא הזרם המוגדר עם הנגזרת הקוואריאנטית? \(j_\nu=i(\phi (D_\nu \phi)*-\phi * (D_\nu \phi))\)
אחרת אין לתלות ב \(A^\mu\).

אם כך, לא הצלחתי לשחזר את הטענה במקרה של התרגיל המדובר (צימוד EM לשדה סקלארי מרוכב).
מצד אחד \(J_\mu=j_\mu+eA_\mu \phi*\phi\) כמשתמע מהלגרנז'יאן בשורה השניה.
ומצד שני \(A^\nu\frac{dj_\nu}{dA_\mu}=-2ie A_\mu \phi* \phi \neq eA_\mu \phi*\phi\)

yevgeny.kats
הודעות: 15
הצטרף: 14:33 07/08/2017

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי yevgeny.kats » 11:53 26/06/2019

גם בעבודת הבית וגם בפוסט שלי שאתה מצטט, הזרם הנשמר מסומן \(J^\mu\). הוא נתון ע"י הביטוי עם הנגזרות הקווריאנטיות המופיע בשאלה, לכן בצורה מפורשת
\(J^\mu = i(\varphi\partial^\mu\varphi^\ast - \varphi^\ast\partial^\mu\varphi) - 2e\varphi^\ast\varphi A^\mu\)

הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) מסומן בפוסט שלי \(j^\mu\) ומהלגרנז'יאן
\({\cal L} \supset e A_\mu J^\mu + e^2\varphi^\ast\varphi A_\mu A^\mu \equiv eA_\mu j^\mu\)
מקבלים ש-
\(j^\mu = J^\mu + e\varphi^\ast\varphi A^\mu = i(\varphi\partial^\mu\varphi^\ast - \varphi^\ast\partial^\mu\varphi) - e\varphi^\ast\varphi A^\mu\)
מכאן ש-
\(\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu} = -e\varphi^\ast\varphi\eta_{\mu\nu}\)
ולכן היחס שאתה מצטט מתקיים:
\(J_\mu = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)

noamwunch
הודעות: 10
הצטרף: 19:52 03/11/2016

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי noamwunch » 12:24 26/06/2019

הבנתי, תודה רבה.

yevgeny.kats
הודעות: 15
הצטרף: 14:33 07/08/2017

Re: שיעורי בית 6 שאלה 2

שליחה על ידי yevgeny.kats » 12:34 26/06/2019

מעולה!

שלח תגובה

חזור אל “- מבוא לחלקיקים אלמנטריים”