שלום,
ייתכן שיש טעות בהגדרת הזרם בגוף השאלה?
ניסיתי להציב את הנגזרת הקווריאנטית ישירות ללגרנז'יאן ולא התקבלה תוצאה זהה לתוצאה המתקבלת מהצבת הנגזרת הקווריאנטית לביטוי הכולל את הזרם. בנוסף, בהרצאה 15 רשמנו את הזרם עם תוספת. מצרף את התמונה להשוואה.
תודה,
אריאל.
שיעורי בית 6 שאלה 2
שיעורי בית 6 שאלה 2
- קבצים מצורפים
-
- Capture.PNG (937.57 KiB) נצפה 461 פעמים
Re: שיעורי בית 6 שאלה 2
תיקון\הבהרה:
הביטוי לזרם כנראה נכון, אז אני רק מניח שחסר בלגרנז'יאן איבר מהצורה:
\(-e^2\varphi^{*}\varphi A^{\mu}A_{\mu}\)
כדי שנקבל את הזרם כמו שכתוב בשיוויון השני בשאלה.
הביטוי לזרם כנראה נכון, אז אני רק מניח שחסר בלגרנז'יאן איבר מהצורה:
\(-e^2\varphi^{*}\varphi A^{\mu}A_{\mu}\)
כדי שנקבל את הזרם כמו שכתוב בשיוויון השני בשאלה.
-
yevgeny.kats
- הודעות: 15
- הצטרף: 14:33 07/08/2017
Re: שיעורי בית 6 שאלה 2
אכן יש שם טעות ואני מתנצל על כך. בביטוי השני עבור הלגרנז'יאן המופיע בשאלה צריך להוסיף \(e^2\varphi^\ast\varphi A^\mu A_\mu\). כמו שהזכרת, הרצאה 15 מבהירה את ההבדל בין הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) לבין הזרם הנשמר. אין הבדל בין השניים עבור שדות ספינוריים, אבל יש הבדל עבור שדות סקלאריים ווקטוריים. תודה רבה על ההערה!
-
AvshalomBd
- הודעות: 22
- הצטרף: 11:38 04/11/2016
Re: שיעורי בית 6 שאלה 2
היי אבגני,
בהמשך לתגובתך לגבי מתי הזרם השמור הוא בדיוק הזרם שמופיע בלגרנז'יאן.
במטלה 6 שאלה 3 סעיף ב' נשאלנו האם הלגרנז'יאן שכתוב יכול לתאר את הצימוד של השדה הוקטורי V לשדה האלקטרומגנטי. התשובה הייתה לא משום שהזרם J שמופיע בלגרנז'יאן ונצמד ל-A אינו בדיוק הזרם השמור.
מנסה להבין האם רק בשדה ספינורי הזרם שמופיע בלגרנז'יאן ונצמד ל-A חייב להיות הזרם הנשמר או גם בשדה וקטורי?
תודה רבה,
אבשלום.
בהמשך לתגובתך לגבי מתי הזרם השמור הוא בדיוק הזרם שמופיע בלגרנז'יאן.
במטלה 6 שאלה 3 סעיף ב' נשאלנו האם הלגרנז'יאן שכתוב יכול לתאר את הצימוד של השדה הוקטורי V לשדה האלקטרומגנטי. התשובה הייתה לא משום שהזרם J שמופיע בלגרנז'יאן ונצמד ל-A אינו בדיוק הזרם השמור.
מנסה להבין האם רק בשדה ספינורי הזרם שמופיע בלגרנז'יאן ונצמד ל-A חייב להיות הזרם הנשמר או גם בשדה וקטורי?
תודה רבה,
אבשלום.
-
yevgeny.kats
- הודעות: 15
- הצטרף: 14:33 07/08/2017
Re: שיעורי בית 6 שאלה 2
עבור שדה ספינורי, ניתן לצמד ל-\(A^\mu\) את הזרם הנשמר מהתאוריה ללא שדות הכיול, והוא יישאר זרם נשמר גם בתאוריה החדשה.
עבור שדה סקלארי או וקטורי, המצב הוא קצת שונה בגלל שבמקרים אלה הזרם המקורי מערב נגזרת של השדה, וכתוצאה מכך הביטוי לזרם הנשמר החדש לפי משפט נתר יקבל תרומה נוספת מהאיבר \(A^\mu j_\mu\) עצמו, ותרומה זו תערב לא רק את השדה המקורי אלא גם את \(A^\mu\).
הטענה שנכונה עבור כל המקרים היא שאם הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) הוא \(j_\mu\), אז הזרם הנשמר \(J^\mu\) (לפי משפט נתר, או לחלופין לפי משוואות התנועה) הוא
\(J_\mu = \frac{\partial}{\partial A^\mu}(A^\nu j_\nu) = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)
עבור שדה סקלארי או וקטורי, המצב הוא קצת שונה בגלל שבמקרים אלה הזרם המקורי מערב נגזרת של השדה, וכתוצאה מכך הביטוי לזרם הנשמר החדש לפי משפט נתר יקבל תרומה נוספת מהאיבר \(A^\mu j_\mu\) עצמו, ותרומה זו תערב לא רק את השדה המקורי אלא גם את \(A^\mu\).
הטענה שנכונה עבור כל המקרים היא שאם הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) הוא \(j_\mu\), אז הזרם הנשמר \(J^\mu\) (לפי משפט נתר, או לחלופין לפי משוואות התנועה) הוא
\(J_\mu = \frac{\partial}{\partial A^\mu}(A^\nu j_\nu) = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)
Re: שיעורי בית 6 שאלה 2
היי, אני קצת מתבלבל עם הסימונים.הטענה שנכונה עבור כל המקרים היא שאם הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) הוא \(j_\mu\), אז הזרם הנשמר \(J^\mu\) (לפי משפט נתר, או לחלופין לפי משוואות התנועה) הוא
\(J_\mu = \frac{\partial}{\partial A^\mu}(A^\nu j_\nu) = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)
האם j כאן הוא הזרם המוגדר עם הנגזרת הקוואריאנטית? \(j_\nu=i(\phi (D_\nu \phi)*-\phi * (D_\nu \phi))\)
אחרת אין לתלות ב \(A^\mu\).
אם כך, לא הצלחתי לשחזר את הטענה במקרה של התרגיל המדובר (צימוד EM לשדה סקלארי מרוכב).
מצד אחד \(J_\mu=j_\mu+eA_\mu \phi*\phi\) כמשתמע מהלגרנז'יאן בשורה השניה.
ומצד שני \(A^\nu\frac{dj_\nu}{dA_\mu}=-2ie A_\mu \phi* \phi \neq eA_\mu \phi*\phi\)
-
yevgeny.kats
- הודעות: 15
- הצטרף: 14:33 07/08/2017
Re: שיעורי בית 6 שאלה 2
גם בעבודת הבית וגם בפוסט שלי שאתה מצטט, הזרם הנשמר מסומן \(J^\mu\). הוא נתון ע"י הביטוי עם הנגזרות הקווריאנטיות המופיע בשאלה, לכן בצורה מפורשת
\(J^\mu = i(\varphi\partial^\mu\varphi^\ast - \varphi^\ast\partial^\mu\varphi) - 2e\varphi^\ast\varphi A^\mu\)
הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) מסומן בפוסט שלי \(j^\mu\) ומהלגרנז'יאן
\({\cal L} \supset e A_\mu J^\mu + e^2\varphi^\ast\varphi A_\mu A^\mu \equiv eA_\mu j^\mu\)
מקבלים ש-
\(j^\mu = J^\mu + e\varphi^\ast\varphi A^\mu = i(\varphi\partial^\mu\varphi^\ast - \varphi^\ast\partial^\mu\varphi) - e\varphi^\ast\varphi A^\mu\)
מכאן ש-
\(\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu} = -e\varphi^\ast\varphi\eta_{\mu\nu}\)
ולכן היחס שאתה מצטט מתקיים:
\(J_\mu = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)
\(J^\mu = i(\varphi\partial^\mu\varphi^\ast - \varphi^\ast\partial^\mu\varphi) - 2e\varphi^\ast\varphi A^\mu\)
הזרם הנצמד ל-\(A^\mu\) מסומן בפוסט שלי \(j^\mu\) ומהלגרנז'יאן
\({\cal L} \supset e A_\mu J^\mu + e^2\varphi^\ast\varphi A_\mu A^\mu \equiv eA_\mu j^\mu\)
מקבלים ש-
\(j^\mu = J^\mu + e\varphi^\ast\varphi A^\mu = i(\varphi\partial^\mu\varphi^\ast - \varphi^\ast\partial^\mu\varphi) - e\varphi^\ast\varphi A^\mu\)
מכאן ש-
\(\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu} = -e\varphi^\ast\varphi\eta_{\mu\nu}\)
ולכן היחס שאתה מצטט מתקיים:
\(J_\mu = j_\mu + A^\nu\frac{\partial j_\nu}{\partial A^\mu}\)