שאלות הבנה בסיסיות

שלח תגובה
tamirne
הודעות: 1
הצטרף: 15:23 13/09/2019

שאלות הבנה בסיסיות

שליחה על ידי tamirne » 18:37 13/09/2019

שלום עליכם.
במהלך הסמסטר קשה למצוא פנאי להתעכב על רעיונות חדשים, מקרי קצה ודקויות. לכן החלטתי להתחיל לעיין בכותרות המרכזיות של מכניקה אנליטית; להנות עכשיו ולשמור הפרקטיקה של פתירת בעיות לסמסטר.
במהלך הלימוד העצמי, נפגשתי עם כמה מחשבות שאשמח לפתח עליהן דיון:


רעיון ראשון - נפילה חופשית:
נחשוב על גוף שנעזב ממנוחה בגובה כלשהו מעל הקרקע. אזי הלגראנז'יאן נתון ע"י
\(L=\frac{1}{2}m\dot{x}-mgx \)
לפי חוק שימור אנרגיה, המיקום והמהירות תלויים. אך בכל זאת גזירת משוואות התנועה נגזרות כאילו היו בלתי תלויים:
\(\frac{\partial L}{\partial x}=-mg , \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x} \rightarrow \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\ddot{x} \)
וסה"כ נקבל \(m\ddot{x}=-mg\) -הגוף נע מטה.
מה שחשוב לי לייצא מהנקודה הזו, היא העובדה שמציאת המסלול מתרחשת באמצעות עקרון הפעולה המינימלית בלבד ומבלי שימוש בחוק שימור האנרגיה.
מדוע זה חשוב? משום שאם הכלי היחיד שלנו הוא עקרון הפעולה, אז איננו יודעים מבעוד מועד שהגוף ינוע מטה אלא רק לאחר שנכתוב את ביטויי הנגזרות הנ"ל (שימור אנרגיה לבדו כבר מחייב שתנועה, אם תתקיים, תהיה כלפי הארץ).

עתה נתבונן בהגדרת הפעולה:
\(I=\int T-V dt\)

בפני הגוף עומדות שלוש אפשרויות:
1. לנוע מטה
2. להישאר במקומו
3. לנוע מעלה

בתחילת התהליך, \(T=0\) וכל תזוזה לכיוון כלשהו, תגדיל את T למספר חיובי.
כמו כן, האנרגיה הפוטנציאלית קטנה עם תנועה מטה ולכן ערך הביטוי \(-V\) גדל עם תנועה מטה.
נראה מכאן שתנועה מטה היא זו שדורשת פעולה מקסימלית (בהשוואה נניח לפתרון חלופי \(m\ddot{x}=mg\) וכן בהשוואה להישארות הגוף במקומו).
הטענה ברורה?

מבחינה מתמטית, זה לא כ"כ נורא. שכן, משוואות אויילר-לגראנז' נועדו למצוא מסלולים שיביאו את הפונקציונאל לנגזרת אפס, ובשום מקום לא הייתה התחייבות מתמטית לכך שיהיה דווקא מינימום.
אם כך, מדוע משתמשים במינוח "פעולה מינימלית" למרות שאנו מוצאים מקרים של פעולות מקסימליות?

הרעיון שאחרי הראשון ולפני השני:
שיתפתי את הסוגיה עם חבר שעשה את הקורס בשנה החולפת ולדבריו, עקרון הפעולה המינימלית ימצא את המסלול האופטימלי עבור נקודת התחלה וסיום נתונות. כלומר ההנחה שהגוף מסיים את דרכו על הארץ היא מידע מקדים. המסלול המדויק בין שתי הנקודות, כתלות בזמן, זו התוצאה של המינימיזציה.
אני מוצא את הטיעון הזה בעייתי מכמה נימוקים:
1. לראיה, מצאנו את מסלול הגוף (טוב, לא עד הסוף) בשיטת אויילר-לגראנז' מבלי שהכנסנו פנימה מידע על נקודת הסיום.
2. מפיסיקה ניוטונית: משוואות ניוטון יודעות לספק לנו את המסלול לפי תנאי התחלה בלבד והן נגזרות מתוך עקרון הפעולה. לכן בכוחו לעשות זאת גם.
3. עד כמה שאני מבין, כשאנחנו מבצעים מינימיזציה כפי שעשינו (תכלס זה היה מקסימיזציה), אנו לוקחים מסלול שמתחיל בנקודה נתונה ומסתיים בנקודה כללית x,y,z כך שרעיונית הוא צודק אך אין בכוח זה לפסול כיוון מסוים מלכתחילה.

הרעיון השני על החוק השני:
בעצם, אם אני צודק בטיעון האחרון, שעקרון הפעולה לא דורש לדעת את הקונפיגורציה הסופית של המערכת אלא חוזה אותה, ז"א שבהינתן מערכת בקונפיגורציה מסוימת, ידע עיקרון הפעולה לחזות מבין כל הקונפיגורציות העתידיות האפשריות (עתידיות לוקלית) את זו אליה המערכת תתפתח. הקונפיגורציה העתידית הזו חייבת גם להיות זו שמאופיינת ע"י אנטרופיה מקסימלית על פני כל הקונפיגורציות האחרות.
והשאלה הכל-כך מתבקשת היא - האם יש שקילות בין עקרון הפעולה המינימלית לבין גידול מקסימלי באנטרופיה?

נקודה מעניינת: אם אנחנו מסכימים לקבל גם פעולות מינימליות וגם מקסימליות (ונראה שכך הדבר), אנו מקבלים ייתכנות שתהליך יחזור אחורה באופן ספונטני.
אם נתעקש על פעולות מינימליות בלבד, תהליכים בודדים יהיו הפיכים במובן הזה.

[נקודה חשובה, ההנחה שהמערכת יודעת לראות רק עתיד לוקאלי עומדת גם בבסיס ההשוואה בסעיף הראשון.
בפתרון הנוכחי \(m\ddot{x}=-mg\) תתקבל לאורך זמן תנועה הרמונית. בפתרון החלופי \(m\ddot{x}=mg\) תגדל האנרגיה הקינטית לאינסוף ולכן באמת זו לא תהיה פעולה מינימלית ואז אין קושיה. אך בהנחה שמערכת היא קצרת-רואי, התהייה על מינימום\מקסימום עומדת היטב].

עריגה: אני מבין עכשיו שאי-התלות המשתקפת בגזירה נובעת מסימן הנגזרת החלקית. אז אומנם הגזירה אינה נימוק אך גם אינה נימוק כנגד. אציין שגולדשטיין מזכיר בכמה הזדמנויות את אי התלות של קורדינטה ונגזרתה בשלב שלפני גזירת משוואות התנועה מבלי שהצלחתי לאתר את הסיבה.

שלח תגובה

חזור אל “- מכניקה אנליטית”